Sólidos Arquimedianos: Camino al Hexaicosaedro

Comenzamos con la geometría. En esta entrada nos adentraremos un poco en la geometría de poliedros, en particular en los poliedros regulares y semiregulares.

Veremos algunos temas básicos que más adelante nos permitirán entender la forma del Hexaicosaedro Serpesorta.

Politopos y poliedros

Como definición intuitiva, podemos entender que un politopo es una región acotada del espacio (de una cierta dimensión, 2, 3, 4, 5...) delimitada por una serie de caras planas, que son politopos de dimensión menor.

Un politopo de dimensión 1 es simplemente un segmento de la recta real y un politopo de dimensión 2 o poliedro es una región del plano delimitada por segmentos.

Así, un poliedro puede entenderse como la región del espacio de tres dimensiones delimitada por un conjunto de polígonos.

Sólidos de Platón

Los sólidos de Platón, también llamados sólidos regulares, pueden definirse de forma recursiva como aquellos politopos cuyas caras son sólidos de platón de dimensión inferior y tales que se cumplen las siguientes hipótesis:

1. Son convexos
2. Todas las caras son iguales
3. Todos los vértices tienen el mismo número de caras
4. Todos los ángulos entre caras son iguales

En dimensión 2, los sólidos regulares corresponden símplemente a los polígonos regulares, y su forma está complétamente definida salvo homotecia o giro por su número de lados. Para cada n>2 existe un polígono regular con n lados.

En el caso de dimensión 3 existen exactamente 5 sólidos Platónicos: tetraedro (4 triángulos), cubo (6 cuadrados), octaedro (8 triángulos), dodecaedro (12 pentágonos) e icosaedro (20 triángulos). La siguiente imagen muestra construcciones tridimensionales de cada uno de los cinco sólidos.

En dimensión superior las cosas cambian ligeramente. Para más de dimensión 4 existen únicamente tres sólidos regulares, el hipertetraedro (o símplex), el hipercubo (o teseracto) y el hiperoctaedro (dual del hipercubo) .

El comportamiento más interesante sucede en dimensión 4. Existen análogos 4-dimensionales para los 5 sólidos platónicos de dimensión 3, el hipertetraedro (4 tetraedros), el hipercubo (4 cubos por vértice, en total 8 cubos), el hiperoctaedro (8 tetraedros por vértice, en total 16 tetraedros), el hiperdodecaedro (4 dodecaedros por vértice, en total 120 dodecaedros) y el hipericosaedro (20 tetraedros por vértice, en total 600 tetraedros).

Además, aparece un sólido autodual de 24 caras, el tetraicosaedro o tetraicosacoron. Este sólido está formado por 24 octaedros, en una estructura con 4 octaedros por vértice.

A partir de estos datos, se deduce que no existe ningún sólido regular, en ninguna dimensión con 26 caras por vértice, con lo que no es posible encontrar ningún politopo en ninguna dimensión que sea un hexaicosaedro regular.

Sólidos de Arquímedes

Los sólidos de Arquímedes son un tipo de sólido semiregular. Estos sólidos siguen casi todos los axiomas de los sólidos platónicos, excepto el concerniente a la igualdad de las caras. Un sólido arquimediano es un politopo en el que todas sus caras son politopos regulares y que además cumplen que

1. Son convexos
2. Todas las caras del mismo tipo son iguales
3. Todos los vértices tienen el mismo número de caras de cada tipo y éstas aparecen en el mismo orden
4. Todos los ángulos entre pares de caras correspondientes son iguales

Existen muchos tipos de sólidos de Arquímedes. En general, a excepción de la condición de convexidad, la condición de caras iguales es una de las que da una mayor versatilidad a las estructuras posibles manteniendo una sensación de regularidad suficientemente fuerte.

Con la definición anterior, existen infinitos sólidos arquimedianos, debido a los prismas y antiprismas. Para cualquier polígono de n lados podemos construir un prisma tomando dos de esos polígonos uno encima de otro y uniendo las correspondientes aristas, formando n caras laterales en forma de cuadrados.

Hexaicosaedro semiregular

En dimensión 3, existen únicamente 4 tipos de hexaicosaedros semiregulares que sean sólidos de Arquímedes, un prisma (24,4,4), un antiprisma (12,3,3,3), el sólido (4,4,4,3) y el sólido (4,6,8).

Este es un ejemplo del (4,4,4,3):

Para no repetir, no se detallará en este blog la construcción de todos ellos. Os remito a la información disponible en nuestra web, en el apartado de ¿Dónde encontrar un hexaicosaedro?

En la web también podéis ver algunos ejemplos de hexaicosaedros no convexos, así que no nos meteremos en ello. Lo importante es que existen varios tipos de hexaicosaedros semiregulares, pero únicamente existen 4 tipos de hexaicosaedros que sean sólidos de Arquímedes.

Esto nos da una noción de que el término hexaicosaedro, si se presupone una cierta hipótesis de regularidad, identifica una familia muy reducida de poliedros.

¿Y qué más...?

Existen muchos otros tipos de sólidos con 26 caras, pero debemos descartar muchas más hipótesis de regularidad. En general, debemos ir ya a sólidos de Johnson.